Géométrie repérée

Ce chapitre fait suite à celui sur le produit scalaire qui nous permet de déterminer l'équation cartésienne d'une droite à partir d'un vecteur. On verra aussi l'équation cartésienne du cercle et le projeté orthogonal d'un point.

Pour rappel, le produit scalaire possède deux définitions équivalentes, la géométrique et l'analytique : $$\vec{u}.\vec{v} = ||\vec{u}|| ||\vec{v}|| cos(\hat{(\vec{u}; \vec{v})})$$ $$\huge{\Leftrightarrow}$$ $$ \vec{u}.\vec{v} = xx' + yy'$$ Elles permettent de faire le pont entre la géométrie euclidienne (points, droites, vecteurs, angles) et la géométrie analytique (coordonnées, équations). Ou dit plus simplement, ce pont permet de faire de la géométrie sans l'observation, mais seulement par le calcul. C'est grâce à ça qu'il est possible de modéliser numériquement notre environnement ou de faire de la géométrie dans des dimensions supérieures à 2... Mais ce n'est pas si nouveau car nous avons déjà fait de la géométrie analytique par le passé avec les formules de la distance et celle du milieu de deux points...
Encore une histoire de vocabulaire autour des "angles droits"... Que doit-on dire quand il s'agit d'une droite et d'un vecteur ? Soit $\overrightarrow{n}$ un vecteur non nul et $A$ un point du plan. L'ensemble des points $M$ tels que $\overrightarrow{AM}.\overrightarrow{n}=0$ est une droite $\mathscr{D}$ passant par $A$ et dirigée par tout vecteur $\overrightarrow{u}$ orthogonal à $\overrightarrow{n}$ On dit que $\overrightarrow{n}$ est un vecteur normal à $\mathscr{D}$ A partir du produit scalaire nul entre $\vec{n}$ et les vecteurs $\vec{AM}$, l'ensemble des points $M$ forme une droite dont on peut obtenir une équation (cartésienne : Dans un repère orthonormé le vecteur $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}a\\b \end{array}\right)$ est orthogonal à une droite $\mathscr{D}$ si et seulement si cette droite admet une équation de la forme $ax+by+c=0$ En pratique cela est utile dans les deux sens : Soit $\mathscr{D}$ une droite d'équation cartésienne $3x - y + 1 = 0$. Déterminer un vecteur normal $\vec{n}$ de $\mathscr{D}$ et un point $A$ passant par $\mathscr{D}$. Soit une droite $(d)$ passant par le point $A(1;2)$ et de vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}-2\\3 \end{array}\right)$. Déterminer une équation cartésienne de $(d)$ sous la forme $ax + by + c = 0$ D'après la propriété précédente, $\mathscr{D}$ admet le vecteur normal $\overrightarrow{n}\left(\begin{array}{l}3\\-1 \end{array}\right)$

Le vecteur $\vec{n}$ n'est pas horizontal (vecteur normal non vectical) donc la droite coupe l'axe des abscisses en un point $A(x_A; 0)$. On applique à ses coordonnées l'équation cartésienne : $$ \begin{array}{lll} 3\times x_A - 0 + 1 &=& 0 \\ 3\times x_A &=& -1 \\ x_A &=& \frac{-1}{3} \end{array} $$ La droite passe donc par le point $A(\frac{-1}{3};0)$

D'après la propriété précédente, $(d)$ admet une équation de la forme $-2x+3y+c=0$.

De plus comme $A \in (d)$ ses coordonnées vérifient l'équation de $(d)$ et donc : $$-2\times 1+3\times 2 +c=0 \Leftrightarrow c=-4$$ Ainsi $(d)$ admet comme équation $-2x+3y-4=0$

Une application consiste à calculer le point d'intersection entre deux droites. Plus concrètement, imaginez qu'une des droite représente un écran et l'autre un rayon de lumière. Ca devient un problème d'optique. En 3D, ce calcul est à la base d'une technique de synthèse d'images numériques : le "ray-tracing". Pour la culture et pour ceux qui seraient intéressés par l'évolution du gaming, cette vidéo tente d'expliquer cette notion :

Vous pouvez découvrir la méthode et vous entraîner avec cet exerciseur :

test

Exercices généré automatiquement : intersections entre deux droites

Commençons par enfoncer une porte ouverte : un point $M$ est sur un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$ si le segment $[\Omega M]$ est un rayon, c'est à dire, si la distance $\Omega M = R$.

On peut en déduire une condition simple sur les coordonnés de $M(x;y)$ sous la forme d'une équation. Ci-dessous, vous pouvez modifier le rayon $R$ et le centre $\Omega$ :

Cela se traduit par la propriété suivante : Soit $(O,I,J)$ un repère orthonormé et $\mathscr{C}$ un cercle de centre $\Omega$ et de rayon $R$. Une équation cartésienne de $\mathscr{C}$ dans $(O,I,J)$ est $$ (x-x_\Omega)^2+(y-y_\Omega)^2=R^2 $$ L'équation est juste la traduction du fait qu'un point M appartient au cercle si et seulement si $\Omega M=R$ On se place dans un repère orthonormé. Soit $\Omega(-4;1)$ un point. Déterminer une équation cartésienne du cercle de centre $\Omega$ et de rayon 2 On applique la formule précédente : $$(x+4)^2+(y-1)^2=2^2 \Leftrightarrow x^2+8x+16+y^2-2y+1=4 \Leftrightarrow x^2+8x+y^2-2y+13=0$$
  • Si on reconnaît la formule $(x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2=R^2$, on peut directement lire les coordonnées du centre et le rayon.
  • Sinon, en utilisant la technique de "semi-factorisation" utilisée pour obtenir la forme canonique d'un polynôme du second degré on peut arriver à mettre en évidence une équation sous la forme précédente et ainsi y lire les coordonnées du centre et la valeur du rayon
 Soit $\mathscr{C}$ un cercle d'équation $x^2+2x+y^2-8=0$ : $$ \begin{array}{lll} && x^2+2x+y^2-8=0 \\ &\Leftrightarrow& (x-1)^2-1+(y-0)^2-8=0 \\ &\Leftrightarrow& (x-1)^2+(y-0)^2=9 \end{array} $$ Ainsi $\mathscr{C}$ est le cercle de centre $(1;0)$ et de rayon $\sqrt{9}=3$ Le plan est munit d'un repère $(0,I,J)$\\ Soient A et B deux points du plan et $\mathscr{C}$ un cercle de diamètre $[AB]$. Une équation de $\mathscr{C}$ dans le repère $(0,I,J)$ est : $$ (x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=AB^2 $$ $M(x;y) \in \mathscr{C} \Leftrightarrow ABM \text{est rectangle en} M \Leftrightarrow \overrightarrow{AM}.\overrightarrow{BM}=0$

Il reste ensuite à exprimer le produit scalaire en fonction des coordonnées.

Soit $A(3;2)$ et $C(9;-6)$ deux points diamétralement opposés sur un cercle $\mathscr{C}$\\ En appliquant la formule précédente, déterminer une équation cartésienne de $\mathscr{C}$ En utilisant la méthode de "semi-factorisation", retrouver l'équation canonique de la forme Proposez une méthode permettant de trouver directement l'équation sous la forme $(x-x_{\Omega})^2+(y-y_{\Omega})^2=R^2$ $\mathscr{C}$ admet pour équation : $$(x-3)(x-9)+(y-2)(y+6)=0 \Leftrightarrow x^2-3x-9x+27+y^2-2y+6y-12=0 \Leftrightarrow x^2-12x+y^2+4y+15=0$$ $$ \begin{array}{lll} & & x^2-12x+y^2+4y+15=0 \\ &\Leftrightarrow& (x-6)^2-36+(y+2)^2-4+15=0 \\ &\Leftrightarrow& (x-6)^2+(y+2)^2=25$\\ \end{array} $$ On peut bien lire les coordonnées du centre $\Omega(6;-2)$ et le rayon $5$.\\ On peut calculer les coordonnées du milieu $ I $ : $$ x_I = \frac{x_A + x_C}{2} = \frac{3+9}{2} = \frac{12}{2} = 6 \\ y_I = \frac{y_A + y_C}{2} = \frac{2+(-6)}{2} = \frac{-4}{2} = -2 $$ Puis le rayon $R = \frac{AC}{2}$ : $$ \begin{array}{lll} AC & = & AC \\ & = & \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2} \\ & = & \sqrt{(3 - 9)^2 + (-6 - 2)^2} \\ & = & \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} \\ & = & \sqrt{36 +64} \\ & = & \sqrt{100} \\ & = & 10 \\ R & = & 5 \\ \end{array} $$ Et on peut écrire l'équation cartésienne : $$(x-6)^2+(y+2)^2=25$$
Projeter orthogonalement un point sur une droite est la version simple d'un problème qui peut être généralisé à la 3D. Avant de rentrer dans les détails voici quelques exemples de projections utiles mais aussi artistiques :
Les vues de côté en mécanique
Fez un jeu qui utilise les
projections orthogonales
Les sculptures de Michael Murphy
(perspective)
 Projeté orthogonalement un point $A$ sur une droite $\mathscr{D}$ (comme une image sur un écran) revient à trouver le point $H$ de cette droite tel que $(AH)$ est perpendiculaire à $\mathscr{D}$ : Calculer les coordonnées du projeté orthogonal se fait en calculant l'intersection entre les droites $\mathscr{D}$ et $\mathscr{D\ '}$. Vous pouvez découvrir la méthode et vous entraîner avec cet exerciseur : test

Exercices généré automatiquement : calculer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droite

C'est tout pour ce chapitre !