Calcul vectoriel et produit scalaire
Dans ce chapitre, nous allons retrouver les vecteurs et le calcul vectoriel. Tout d'abord, il nous faut voyager dans le passé et nous rappeler les notions apprises en seconde... Vous souvenez vous qu'un vecteur peut représenter un déplacement ? Qu'il a une norme ou longueur, une direction, et un sens ? Qu'il est aussi possible d'additionner des vecteurs ou de les multiplier par un nombre réel ? Coordonnées $\vec{u} = \left(\begin{array}{c} x \\ y \end{array}\right)$ $\vec{AB} = \left ( \begin{array}{c} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{array} \right)$ Norme $||\vec{u}|| = \sqrt{x^2+y^2}$ Vecteur somme $\vec{u}+\vec{v} = \left(\begin{array}{c} x+x' \\ y+y' \end{array}\right)$ Produit par un réel $k \vec{u} = \left(\begin{array}{c} k x \\ k y \end{array}\right)$ Si ce rappel très succint ne suffit pas, ça peut être une bonnée idée de relire les chapitres de seconde concernant les vecteurs : test

Cours de seconde sur les vecteurs. Coordonnées, égalité, opposé, somme (ancien site, ça pique un peu...)

 test

Cours de seconde sur la colinéarité des vecteurs. Multiplication par un réel (ancien site aussi)

Entrons maintenant dans le vid du sujet ; le produit scalaire de $\color{blue}{\vec{u}}$ par $\color{red}{\vec{v}}$, que l'on note $\color{blue}{\vec{u}}.\color{red}{\vec{v}}$ (avec un point). Son résultat est un nombre (et pas un vecteur) qui, intuitivement, peut être compris comme ceci :

$$ \begin{array}{ccl} \color{red}{\vec{u}} . \color{blue}{\vec{v}} &=& \begin{array}{cc}\text{"A quel point les vecteurs $\color{blue}{\vec{u}}$ et } \color{red}{\vec{v}} \\ \text{ travaillent t'ils ensemble ?" } \end{array} \end{array} $$

Certes cette définition n'est pas très précise, mais prenons notre temps. Dans l'exemple ci-dessous, se déplace horizontalement suivant $\color{red}{\vec{v}}$ (de $A$ jusqu'à $B$) et se fait tracter par avec une force $\color{blue}{\vec{u}}$. Essayez de faire varier les vecteurs $\color{blue}{\vec{u}}$ et $\color{red}{\vec{v}}$ pour observer les conséquences sur la course de : Il existe une définition précise du produit scalaire sous la forme d'une formule qui, donnée sans explication, pourrait sembler un peu mystérieuse. On va donc la découvrir pas à pas ... Nous avons pu voir dans l'exemple que lorsque les directions des vecteurs sont proches,
la course de est rapide Dans ce cas, la valeur de $\vec{u}.\vec{v}$ doit être élevée. C'est parce que l'angle $\theta = \hat{(\vec{u}; \vec{v})}$ est petit D'ailleurs, la vitesse de est maximale
quand les vecteurs ont la même direction (colinéaires) La valeur du produit scalaire doit être encore plus grande Et lorsque les vecteurs sont orthogonaux ($\theta$ est un angle droit), il n'y a aucun mouvement Dans ce cas, $\color{blue}{\vec{u}}.\color{red}{\vec{v}}=0$ Le vecteur $\color{blue}{\vec{u}}$ peut être décomposé en un vecteur $\color{blue}{\vec{u_x}}$ qui suit
la direction de $\color{red}{v}$, et un autre $\color{blue}{\vec{u_y}}$ orthogonal : De cette manière, on comprend que c'est la composante $\color{blue}{\vec{u_x}}$
qui travaille avec $\color{red}{\vec{v}}$, alors que $\color{blue}{\vec{u_y}}$ n'a aucun effet. Quand l'angle $\theta$ est petit (proche de 0), $\color{blue}{\vec{u_x}}$ est plus important : Ce qui explique la plus grande vitesse de Inversement, quand l'angle $\theta$ est presque un angle droit, $\color{blue}{\vec{u_x}}$ est l'est moins... ...et ralentit ! Puis quand $\theta$ est un angle droit, $\color{blue}{\vec{u_x}} = \vec{0}$ est un vecteur nul... ...et donc fait du sur-place. Le produit scalaire $\color{blue}{\vec{u}} . \color{red}{\vec{v}}$ grandit avec la longueur de $\color{blue}{\vec{u_x}}$, mais aussi
avec celle du trajet $\color{red}{\vec{v}}$. Il est donc à la fois proportionnel à $\color{blue}{||\vec{u_x}||}$ et $\color{red}{||\vec{v}||}$ Une manière plus précise de définir le produit scalaire, la valeur qui
estime le "travail commun" de $\color{blue}{\vec{u}}$ et $\color{red}{\vec{v}}$ est par la formule ci-dessous : $\color{blue}{\vec{u}}.\color{blue}{\vec{v}} = ||\color{blue}{\vec{u_x}}|| \times ||\color{red}{\vec{v}}||$ On peut calculer la longueur (norme) $||\color{blue}{\vec{u_x}}||$ en observant le triangle rectangle
ci-dessous d'hypothénuse $||\color{blue}{\vec{u}}||$, de côté adjacent $||\color{blue}{\vec{u_x}}||$ et d'angle $\color{green}{\theta}$ : $\color{green}{cos(\theta)} = \frac{ ||\color{blue}{\vec{u_x}}||}{ ||\color{blue}{\vec{u}}||}$, donc $||\color{blue}{\vec{u_x}}|| = ||\color{blue}{\vec{u}}|| \times \color{green}{cos(\theta)}$
et donc $\color{blue}{\vec{u}}.\color{blue}{\vec{v}} = ||\color{blue}{\vec{u}}|| ||\color{red}{\vec{v}}|| \color{green}{cos(\theta)}$ Avec cette formule on retrouve par le calcul tous les exemples précédents... Si $||\color{blue}{\vec{u}}||$ et $||\color{red}{\vec{v}}||$ ont la même direction : L'angle $\color{green}{\theta} = 0$, donc $\color{green}{cos(\theta)=1}$ et donc le produit scalaire est maximal :
$\color{blue}{\vec{u}}.\color{blue}{\vec{v}} = ||\color{blue}{\vec{u}}|| ||\color{red}{\vec{v}}||\times 1 = ||\color{blue}{\vec{u}}|| ||\color{red}{\vec{v}}||$ Si $||\color{blue}{\vec{u}}||$ et $||\color{red}{\vec{v}}||$ dont orthogonaux : L'angle $\color{green}{\theta} = \frac{\pi}{2}$, donc $\color{green}{cos(\theta)=0}$ et donc le produit scalaire est nul :
$\color{blue}{\vec{u}}.\color{blue}{\vec{v}} = ||\color{blue}{\vec{u}}|| ||\color{red}{\vec{v}}||\times 0 = 0 $ Que se passe-t'il quand l'angle est obtu, c'est à dire plus grand que $\frac{\pi}{2}$ ? Si on se souvient de son cercle trigo, alors $\color{green}{cos(\theta}) \lt 0$ et donc $\color{blue}{\vec{u}}.\color{blue}{\vec{v}} = ||\color{blue}{\vec{u}}|| ||\color{red}{\vec{v}}|| \color{green}{cos(\theta}) \lt 0$
et part dans l'autre sens :) Cette explication est un peu longue, mais permettra de mieux comprendre
d'où sort la formule du produit scalaire et d'en avoir une petite intuition...
Le produit scalaire peut être défini de plusieurs manières (4 pour être précis). Chaque définition est utile dans un cas spécifique, mais certaines le sont moins que d'autres. a estimé pour vous leur niveau d'utilité avec une système d'étoiles . La première définition correspond à l' explication dans l'introduction : deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ travaillent mieux ensemble quand ils sont dans la même direction. Et c'est donc le projeté orthogonal $\vec{u_x}$ qui travaille effectivement avec $\vec{v}$ : Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non-nuls, et trois points $A,B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. Le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, noté $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$ est définir comme suit: $$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\left\{\begin{array}{lr} AB\times AH & \text{si}\quad (\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AB})=0 \\ -AB\times AH & \text{si}\quad (\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AB})=\pi \end{array} \right.$$ Où $H$ est le projeté orthogonal du points $C$ sur la droite $(AB)$ Si $\overrightarrow{u}$ ou $\overrightarrow{v}$ est nul, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0$ Cette définition, par forcément très pratique, ne servira que dans des situation où on connaît le projeté orthogonal $H$ : Dans le triangle équilatéral $ABC$, $[CH]$ est la hauteur issue de $C$. On note $AB=a$ : Calculez les produits scalaires suivant : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{AC}$ Tout d'abord on remarque que $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$, mais aussi de $C$ sur $[AK]$ car $(AC)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et $(AK)$. On applique la définition par projeté orthogonal : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=AB\times AH=a\times\dfrac{a}{2}=\dfrac{a^2}{2}$ $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{AC}=-AK\times AH=-\dfrac{a}{2}\times\dfrac{a}{2}=-\dfrac{a^2}{4}$ On passe maintenant avec une définition plus utile. Elle sera utilisée dans des problèmes où on connaît l'angle $\theta = (\vec{u};\vec{v})$ entre les deux vecteurs : Soit $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls, le produit scalaire de $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ peut se calculer comme suit: \[ \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=||\overrightarrow{u}||\times||\overrightarrow{v}||\times \cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) \] On peut prouver que cette définition est totalement équivalente à la première : Si on choisit trois points $A,B$ et $C$ tels que $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AC}$ et qu'on définit le point $H$ comme dans la définition 1 par projection : $$||\overrightarrow{u}||\times \cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)=\left\{\begin{array}{l r} AH &\text{si}\quad\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) \in \left[0;\dfrac{\pi}{2}\right] \\ &\\ -AH &\text{si}\quad\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) \in \left[\dfrac{\pi}{2};\pi\right] \end{array} \right.$$ Ce qui démontre que les définition sont équivalentes. Dans le triangle équilatéral $ABC$, $[CH]$ est la hauteur issue de $C$. On note $AB=a$ : Calculez les produits scalaires suivant en fonction de $a$ : $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}$ $\overrightarrow{AK}.\overrightarrow{AC}$ Tout d'abord on remarque que $H$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $[AB]$, mais aussi de $C$ sur $[AK]$ car $(AC)$ est perpendiculaire à $(AB)$ et $(AK)$. On applique la définition par projeté orthogonal : On utilise la définition par l'angle : $$\begin{array}{lll} \overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC} &=& AB\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)\\ &=& a\times a\times\cos\left(\dfrac{\pi}{3}\right)\\ &=& a^2\times\dfrac{1}{2}\\ &=& \dfrac{a^2}{2} \end{array}$$ On utilise la définition par l'angle : $$\begin{array}{lll} \overrightarrow{AK}.\overrightarrow{AC} &=& AK\times AC\times \cos\left(\overrightarrow{AK},\overrightarrow{AC}\right)\\ &=& \dfrac{a}{2}\times a\times\cos\left(-\dfrac{2\pi}{3}\right)\\ &=& -\dfrac{a^2}{2}\times\left(-\dfrac{1}{2}\right)\\ &=& \dfrac{a^2}{4} \end{array}$$ Cette formule, bien que fortement utile () s'utilisera le plus souvent à l'envers. C'est à dire pour retrouver l'angle quand on connaît déjà le produit scalaire (grâce à la boss des formules, la numéro 4). La définition suivante est très peu utilisée en pratique. Elle sert surtout de formule intermédiaire pour démontrer la définition 4 qui est de loin la plus utile... Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$, $$ \begin{array}{lll} \left(\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}\right)&=&\dfrac{1}{2}\left[ ||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2 \right]\\ &=&\dfrac{1}{2}\left[ ||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2 \right] \end{array} $$ On peut prouver que cette définition est totalement équivalente à la précédente :

1er cas : $\vec{u} = \vec{0}$

$\overrightarrow{u}=\overrightarrow{0}$. Les trois expressions sont alors nulles, l'égalité est donc vérifiée.

2ème cas : $\vec{u} \neq \vec{0}$

Nous allons commencer par construire un repère adapté au problème:

Fixons un point $A$ quelconque comme origine du repère.

Soit $I$ tel que $\overrightarrow{AI}=\dfrac{1}{||\overrightarrow{u}||}\overrightarrow{u}$ et $J$ tel que $(A,I,J)$ soit un repère orthonormé.

Dans ce repère $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}||\overrightarrow{u}||\\0\end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{ll}||\overrightarrow{v}||\cos\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right) ||\overrightarrow{v}||\sin\left(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}\right)\end{array}\right)$

Donc
$$ \begin{array}{lll} & & ||\vec{u}+\vec{v}||^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2 \\ &=&(||\vec{u}||+||\vec{v}||\cos(\vec{u},\vec{v}))^2 + (0+||\vec{v}||\sin(\vec{u},\vec{v}))^2-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2\\ &=&||\vec{u}||^2+2||\vec{u}||||\vec{v}||\cos(\vec{u},\vec{v})+||\vec{v}||^2\cos^2(\vec{u},\vec{v})+||\vec{v}||^2\sin^2(\vec{u},\vec{v})-||\vec{u}||^2-||\vec{v}||^2\\ &=&2||\vec{u}||||\vec{v}||\cos(\vec{u},\vec{v})+||\vec{v}||^2(\cos^2(\vec{u},\vec{v})+\sin^2(\vec{u},\vec{v}))-||\vec{v}||^2\\ &=&2||\vec{u}||||\vec{v}||\cos(\vec{u},\vec{v})\\ &=&2\vec{u}.\vec{v} \end{array} $$
Ainsi on a bien $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\dfrac{1}{2}\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right)$

La deuxième égalité se démontre en appliquant la formule aux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $-\overrightarrow{v}$

Et enfin la plus importante de ce chapitre, la définition analytique ! Cette formule simple permettra de calculer le produit scalaire à partir des coordonnées des vecteurs ou des points d'un problème... Le plan est munit d'un repère orthonormé. Soit $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{l}x\\y \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}x'\\y' \end{array}\right)$, on a alors: \[ \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=xx'+yy'\] C'est seulement pour cette preuve que la définition 3 est utile : $$\begin{array}{ll} \dfrac{1}{2}\left(||\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}||^2-||\overrightarrow{v}||^2\right)&=\dfrac{1}{2}\left((x+x')^2+(y+y')^2-(x^2+y^2)-(x'^2+y'^2)\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\left(x^2+2xx'+x'^2+y^2+2yy'+y'^2-x^2-y^2-x'^2-y'^2\right)\\ &=\dfrac{1}{2}\left(2xx'+2yy'\right)\\ &=xx'+yy' \end{array}$$

Soit $(O,I,J)$ un repère orthonormé et $\overrightarrow{u}\left(\begin{array}{c}4\\-5 \end{array}\right)$ et $\overrightarrow{v}\left(\begin{array}{l}0\\1 \end{array}\right)$.

Calculez le produit scalaire $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}$

C'est immédiat avec la définition par les coordonnées : $$\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=4\times0+(-5)\times1=-5$$ On connaît les définitions du produit scalaire (2 et 4 vraiment utiles...). Il y a quelques propriétés algébriques à connaître et nous pourront ensuite voir des applications vraiment utiles... Pour tous vecteurs $\overrightarrow{u},\overrightarrow{v}$ et $\overrightarrow{w}$ du plan et pour tout réel $k$, on a:
  • Symétrie : $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=\overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
  • Linéarité: $\overrightarrow{u}.\left(\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}\right)=\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$
  • Identités remarquables :
    • $\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)^2=\overrightarrow{u}^2+2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}^2$
    • $\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)^2=\overrightarrow{u}^2-2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}+\overrightarrow{v}^2$
    • $\left(\overrightarrow{u}+\overrightarrow{v}\right)\left(\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}\right)=\overrightarrow{u}^2-\overrightarrow{v}^2$
Tout cela se démontrer assez bien avec les coordonnées...
Dans cette partie, nous allons enfin présenter des application concrètes et utiles du produit scalaire ... ... enfin, des application géométriques simples mais néanmoins fondamentales et diverses ! En math, le vocabulaire est important. Si on dit que deux droites sont perpendiculaires, pour des vecteurs on préfèrera dire qu'ils sont orthogonaux (en 2D c'est des notions très similaires, mais en 3D ça se corse, c'est ce qui explique la différence...) Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls du plan et $A,B,C$ et $D$ quatres points tels que $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{CD}=\overrightarrow{v}$. Les vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont dits orthogonaux lorsque les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires. On note souvent cela : $$ \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$$ Grâce à la formule analytique, on a le moyen de vérifier très simplement si deux vecteurs sont orthogonaux ou deux droites perpendiculaires : Soient $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ deux vecteurs non nuls du plan. $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul. Soient $A,B$ et $C$ trois points du plan distincts deux à deux tels que $\overrightarrow{u}=\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{AC}$. ON sait que : $$ \begin{array}{lll} \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0 & \Leftrightarrow & \dfrac{1}{2}\left(||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2-||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2\right)=0 \\ &\Leftrightarrow& ||\overrightarrow{u}||^2+||\overrightarrow{v}||^2=||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2 \end{array} $$ Or :
  • $||\overrightarrow{u}||^2 = ||\overrightarrow{AB}||^2=AB^2$
  • $||\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{AC}||^2=AC^2$
  • $||\overrightarrow{u}-\overrightarrow{v}||^2 = ||\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AC}||^2 = ||\overrightarrow{CB}||^2=BC^2$
Ainsi $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow AB^2+AC^2=BC^2 \Leftrightarrow ABC$ est rectangle en $A$ (théorème de Pythagore), c'est-à-dire les droites $(AB)$ et $(AC)$ sont perpendiculaires.

On conclut donc $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v}=0\Leftrightarrow \overrightarrow{u} \perp \overrightarrow{v}$

Soient $A(1;2)$, $B(5;-1)$, $C(4;0)$ et $D(5,5;2)$. Montrer que les droites $(AB)$ et $(BC)$ sont perpendiculaires. On va pour cela démontrer que $\vec{AB} \perp \vec{BC}$. Calculons les coordonnées des vecteurs : $$ \overrightarrow{AB}\left(\begin{array}{c}5-1\\-1-2\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 4\\-3 \end{array}\right) $$ $$\overrightarrow{CD}\left(\begin{array}{c} 5,5-4\\2-0 \end{array}\right)=\left(\begin{array}{c} 1,5\\2 \end{array}\right)$$ Ainsi $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{CD}=4\times1,5+(-3)\times2=6-6=0$, ce qui veut dire que les vecteurs $\overrightarrow{AB}$ et $\overrightarrow{CD}$ sont orthogonaux et que donc les droites $(AB)$ et $(CD)$ sont perpendiculaires.